Minggu, 11 Maret 2018

polinomial dan teorema sisa

  1. Pengertian polinom  

   Polinomial, atau disebut juga suku banyak, adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien. Secara sederhana, polinomial adalah bilangan yang memuat koefisien variabel,eksponen(pangkat) nya bilangan cacah, konstanta dan berurutan pangkatnya dari yang terbesar sampai yang terkecil . Polinomial sendiri berasal dari 2 kata, yaitu poli yang berarti banyak, dan nomial yang berarti nilai.
Sebuah polinomial terlihat seperti ini
 4x2 + 2x +5

Bentuk umum suku banyak (polinom) berderajat n dengan variable x adalah:
an xn + an-1 xn-1 + . . . + a1 x + a0
dengan an , an-1 , …. , a1 , a0 € R koefisien/konstanta
suku banyak an ≠ 0 , dan n bilangan bulat positif.

Sebuah polinomial bisa memiliki:
  • Variabel (merupakan nilai yang dapat berubah, seperti x, y, z dalam sebuah persamaan; boleh memiliki lebih dari 1 variabel)
  • Koefisien (merupakan konstanta yang mendampingi variabel)
  • Konstanta (sebuah nilai tetap dan tidak berubah)
  • Eksponen atau pangkat merupakan pangkat dari variabel; bisa juga disebut sebagai derajat sebuah polinomial
Ada juga syarat-syarat sehingga suatu persamaan dapat dikatakan sebagai ‘polinomial’, yaitu berikut ini:
  • Variabel tidak boleh memiliki pangkat pecahan atau negatif
  • Variabel tidak boleh masuk dalam suatu persamaan trigonometri
2..Operasi Polinomial 
 
 
a. Pemjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Polinomial

Penjumlahan dan pengurangan polinom f(x) dan polinom g(x) dapat dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku sejenisnya.
Derajat polinom hasil penjumlahan/pengurangan polinom tidak dapat dipastikan karena mungkin saja terjadi koefisien peubah pangkat tertinggi hasil operasi sama dengan nol. Sedikit tips jika melakukan pengurangan polinom, selalu ingat untuk memberikan tanda kurung pada polinom yang dikurangi. Perhatikan beberapa contoh soal dan penyelesaian berikut ini.

Contoh : 
Diketahui suku banyak f(x) dan g(x) sebagai berikut
f(x) = 5x4-5x3-20
g(x) = 2x4+4x3+3x2-5x+3
Tentukan :
a) f(x) + g(x)
b) f(x) - g(x)




 b).Perkalian

Untuk perkalian antarpolinom, tidak ada syarat spesifik. Perkalian sukubanyak f(x) dengan suku banyak g(x) dapat ditentukan dengan cara mengalikan suku-suku dari kedua sukubanyak itu. Dalam mengalikan suku-suku dari kedua buah sukubanyak itu digunakan sifat distributif perkalian baik distributif perkalian terhadap penjumlahan maupun distributif perkalian terhadap pengurangan.


 
4.Menentukan Nilai Polinomial

a).Metode Substitusi


Untuk menjelaskan metode substitusi ini, saya akan menggunakan bentuk suku banyak yang berderajat dua.
Misalkan suku banyak f(x) = ax2 + bx + c Jika kita ingin mencari nilai f(x) untuk x = k, maka nilai x pada fungsi suku banyak kita ganti k, sehingga didapat nilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah f(k) = ak2 + bk + c  Hal ini berlaku juga untuk suku banyak berbeda derajat lainnya.
contoh soal :
Tentukan nilai suku banyak berikut ini untuk nilai x nya adalah





b).Metode Horner
Metode Horner, ataupun sintetik. Untuk menunjukkan bagaimana konsep metode ini, dalam hal ini akan digunakan kembali suku banyak berderajat 3. Bentuk penyelesaian dalam menentukan nilai suku banyak f(x) = ax3 + bx2 + cx + d untuk nilai x = k dengan

1. Tentukan hasil bagi dan sisa dari (x2 – 4x + 6) : (x – 2)
Penyelesaian :
Buat skema horner

Variabel (x2, x, k) harus terurut dan di bawahnya diikuti koefisien yang bersesuaian lengkap dengan tanda bilangan (negatif atau positif, kalau tandanya positif tidak usah ditulis ya ^_^).
Jika tidak ada variabel berarti koefisien nol (contoh 2, di bawah)
Selanjutnya untuk pembagi x – 2 tulis di ujung paling kiri dari skema, seperti ini

Jika pembagi adalah x + 2 maka di posisi pembagi dalam horner ditulis -2 , jika pembagi adalah 2x – 3 maka di posisi pembagi dalam horner ditulis 3/2 .
Kemudian kita akan mulai melakukan perhitungan.

Turunkan angka pertama, angka 1 (langsung tulis saja di bawah garis), kalikan angka pertama (1) dengan pembagi (2), hasil perkalian (1 x 2 = 2) itu letakkan di bawah angka kedua (dibawah -4), jumlahkan angka kedua dengan hasil perkalian (-4 +2 = -2). Ulangi lagi langkah di atas dengan mengalikan hasil penjumlahan (-2) dengan pembagi (2). Jika perhitungan kalian benar, maka akan diperoleh skema seperti diatas.
Nah, sekarang langkah terakhir adalah menentukan hasil bagi dan sisa dari skema horner yang sudah kalian buat.

Sisa pembagian adalah angka terakhir yang didapatkan tadi. Di depan sisa, labeli angka tersebut dengan k(konstanta), di depan konstanta adalah x (jika terus berlanjut, maka di depan x adalah x2, di depan x2 adalah x3, dan seterusnya)
Jadi untuk permasalahan (x2 – 4x + 6) : (x – 2), hasil baginya adalah 1x – 2k ditulis yang benar menjadi x – 2, dan sisanya adalah 2.
Bagaimana? paham dengan yang saya maksudkan, oke mari kita cek contoh kedua.
2. Tentukan hasil bagi dan sisa dari (x4 – 5x2 + 6x) : (x + 1)
Silakan lakukan seperti contoh diatas, kemudian bandingkan dengan skema di bawah

Jadi hasil baginya adalah x3 – x2 – 4x + 10 dan sisanya adalah -10



5).Algoritma Pembagian

a).Cara Bersusun


Jika f(x) dan p(x) adalah suku banyak, dengan p(x) ≠ 0, maka ada sukbu banyak tunggal H(x) dan S(x), di mana S(x) adalah 0 atau suku banyak yang memiliki derajat kurang dari derajat p(x), sedemikian sehingga

 





 b.) Teori horner 




 Teorema sisa I



 cara bersusun:


 teori horner:


 Teorema sisa II


cara bersusun:




 teori horner:

  Teorema sisa III




 cara bersusun :
teori horner:




  6).Teorema Faktor 
    Teorema:
Jika f(x) suatu suku banyak, maka
f(h) = 0 (x – h) merupakan faktor dari f(x).
Bukti:
Menurut teorema sisa
f(x) = (x – h) H(x) + f(h)
Jika f(h) = 0 maka f(x) = (x – h) H(x)
Berarti bahwa (x – h) merupakan faktor dari f(x)
Jika (x – h) merupakan faktor dari f(x) maka: f(x) = (x – h) H(x)
x diganti h, maka didapat:
f(h) = (h – h) H(h)
       = 0 H(h)
       = 0
Jadi: f(h) = 0 (x – h) merupakan faktor dari f(x)




 





Biodata
nama :sonjaya
alamat : kp cileunca rt/rw 01/10 ds. tenjolaut kec cikalongwetan
Kepribadian : baik hati , tidak sombong😊 , penyabar dan santun😁
Pesan: masalah yang kamu hadapi bukan untuk menjatuhkanmu,tetapi agar kau bisa berpikir lebih dewasa dari hari ini , kemarin.dan seterusnya.




Tidak ada komentar:

Posting Komentar